풀려면 최소 물리II 정도의 지식이 필요한 문제입니다.
물리올림피아드에서 어떤 문제를 낼까 고민하다가 만들었던 문제 입니다.
어떻게 하면 열역학과 고전역학의 조건이 섞인 문제 중 크게 어렵지 않은 문제를 낼수 있을까 하여 만들게 되었습니다.
뭐 목욕탕 바구니를 보다가 생각난 문제이지만요;;;
위 그림과 같이 작은 반지름이 r, 큰 반지름이 R 높이가 h인 그릇의 질량이 M이다.
1. 이 그릇을 얇게 물이 깔린 책상위에 뒤집어 놓았다.대기의 온도가 T_0이고 내부의 온도를 절대온도 T라고 할 때, 그릇이 마찰없이 움직이기 위한 최소 온도 T를 구하여라.
2. 바구니가 원기둥의 형태일 때, 온도 T를 구하여라.
3. 높이 h와 작은 반지름 r을 조절하여 바구니의 부피를 일정하게 만들었을 때, 온도 T는 h와 r에 영향을 받지 않음을 보여라.
- 조건 -
R > r
중력가속도는 g이다.
이때 물의 표면장력으로 발생하는 힘은 무시한다.
그릇의 두께는 충분히 얇다.
대기는 이상기체이다.
용기 내부의 기체의 수는 N이다.
T_0는
를 의미합니다.
풀이
우선 두가지의 힘을 생각할 수 있습니다.
중력과 내부 공기의 압력이 그릇을 들어올리는 힘이죠.
중력은 아래와 같이 표현됩니다.
그리고 압력으로 인한 힘은 부피 V, 와 윗부분으로 압력을 받는 넓이 A에 대하여 아래와 같이 식을 쓸 수 있습니다.
마찰력이 0이 된다는 것은 두 힘이 평형을 이루거나 압력으로 인한 힘이 더 크다는 것이고, 최소 온도를 구하라고 했으니 평형을 고려하면 됩니다.
즉
로 계산됩니다.
실수하기 쉬운 것은,
압력이 작용하는 넓이를 고려할 때 작은 원의 넓이가 아닌 큰 원의 넓이를 고려해야합니다.
만일 그릇이 원기둥 형태 즉, R=r의 형태라면,
로 상당히 간단하게 정리 할 수 있습니다.
자 만일 부피가 일정하다면
$$ F_p=\frac{Nk\left(T-T_0\right)}{V}A $$
에서 V가 일정하여 변화하지 않는 상수가 됩니다. 이때 넓이 A는 큰반지름 R에만 영향을 받음으로 온도는 r과 h에 영향을 받지 않습니다.
그럼 여기서 넓이 A는 왜 큰반지름 R에만 영향을 받느냐. 윗면과 아랫면을 연결하는 옆면에 작용하는 압력을 지표면에 수평한 방향과 수직한 방향의 힘중 수직한 방향의 힘만을 면적으로 적분하여 윗면과 합해주면 아랫면의 면적에 가해진 압력의 총량이 되기 때문입니다.
여기서 문제를 한번 더 꼬으려면, (윗면 반지름)r > R(아랫면 반지름)인 경우도 문제로 낼수 있겠네요.
재밌는건 답은 변하지 않습니다.