물리 올림피아드 실험문제에 뜬금없이 로그 그래프를 활용하여 다차 함수의 변곡점을 찾는 문제가 나왔을 겁니다.
어떻게 아냐고요?
제가 제안했거든요 로그 그래프 활용하는거.... 16년인가 17년으로 기억하는데....
죄송합니다. 기억이 제대로 나지 않네요;;;
덕분에 물리 올림피아드 준비하는 분들은 추가로 공부할 거리가 더 생겼을 겁니다.
학원에서 준비하는 것도 더 늘어나게 됐을거구요;;
죄송합니다.;;;
뭐 사담은 여기까지 하고 이번엔 로그 그래프를 활용하여 다차함수를 구하는 방법을 소개하려 합니다.
물리 실험에서 자주 등장하는 다차함수
공기 저항은 속도에 따라서 속도에 다른 차수에 저항을 받는데요. 예를 들어 작은 구가 공기 저항을 받을 때 그 속도가 충분히 작다면 Stoke's drag force를 받습니다.
하지만 아무리 이상적인 형태라도 속도가 충분하면 다른 차수의 저항의 힘을 받는데요.
로 간단히 표현할 수 있습니다. 즉 다차함수가 되는 것이죠. 하지만 특정조건에서는 v의 영향이 다른 조건에서는 v제곱의 영향이 크다고 생각 할 수 있습니다.
로그 함수를 이용한 다차항의 차수와 계수 구하기
위와 같은 형태의 데이터에 로그를 취해봅시다. 그럼 식은
으로 변경됩니다. 이때 ln y=Y로 ln x = X로 치환하면 식은 다음과 같이 생각할 수 있습니다.
즉 기울기가 n이고 Y절편이 ln a인 1차함수로 변형되는 것이죠.
다차 함수 구하기
자 그럼 배운 방법을 통하여 가지고 있는 데이터를 가지고 다차함수를 구해봅시다.
로그로 다차함수를 구할 수 있기 쉽도록 데이터를 구성하겠습니다.
꼴의 다차함수라고 하죠. 그 데이터는 아래와 같습니다.
|
x
|
y
|
|
0.0000001
|
0.00001
|
|
0.000001
|
0.0001
|
|
0.00001
|
0.001
|
|
0.0001
|
0.01
|
|
0.001
|
0.1
|
|
0.01
|
1.00000001
|
|
0.1
|
10.00001
|
|
0.5
|
50.00125
|
|
1
|
100.01
|
|
5
|
501.25
|
|
10
|
1010
|
|
100
|
20000
|
|
1000
|
10100000
|
|
5000
|
1250500000
|
|
10000
|
10001000000
|
그 그래프는
음 정보가 없는 이상 이 그래프로 할 수 있는 것은 없습니다.
여기에 로그를 취하여 데이터를 변형해주면 아래와 같아집니다.(자연 로그를 취했습니다.)
|
x
|
y
|
|
-16.1181
|
-11.5129
|
|
-13.8155
|
-9.21034
|
|
-11.5129
|
-6.90776
|
|
-9.21034
|
-4.60517
|
|
-6.90776
|
-2.30259
|
|
-4.60517
|
0.00000001
|
|
-2.30259
|
2.302586
|
|
-0.69315
|
3.912048
|
|
0
|
4.60527
|
|
1.609438
|
6.217105
|
|
2.302585
|
6.917706
|
|
4.60517
|
9.903488
|
|
6.907755
|
16.12805
|
|
8.517193
|
20.94681
|
|
9.21034
|
23.02595
|
이제 이 값을 그래프로 그려봅시다.
음 이 데이터로도 충분해 보이지 않은듯 보이지만 갑자기 기울기가 변한 지점이 보일겁니다.
x를 중심으로 5근처이니 최대한 5에서 떨어진 데이터를 활용하여 추세선을 그려보죠.
예쁘게도 나왔네요. 뭐 그렇게 나오도록 데이터를 설정했으니까요. ㅎㅎ
이제 분석을 시작해 봅시다.
에 대입하여 생각하면
차수가 클 경우 작은 값에서 큰 영향을 끼치지 않기에 1번 항만 살아남습니다.
여기에 로그를 취하면
y=x+4.6052는 위 식중 지수가 작은 쪽
에 해당됩니다. 즉
이 됩니다.
계산해 주면
이 되죠.
그럼 y=2.9954x-4.5642는 아래식에 해당합니다.
반대로 차수가 큰 2번항만 살아남아 아래와 같이 식을 근사할 수 있습니다.
마찬가지로 구해주면
가 됩니다.
결국 데이터로 구한 식은
가 됩니다.
자 그럼 실제 식은 어떤 지 확인해 볼까요 실제 식(이론 값)은
이 됩니다.
커야 5%정도의 오차군요.
만일 충분히 큰 숫자를 적용했다면 오차는 더 줄어들 겁니다.